Zystkmt

Beispiel einer Folge, die im Unendlichen gegen einen Grenzwert strebt.

Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nah kommt. Dies bedeutet, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts fast alle Folgenglieder der Folge liegen. Besitzt eine Folge solch einen Grenzwert, so wird sie konvergent, andernfalls divergent genannt. Ein Beispiel für eine konvergente Folge ist an=1n{displaystyle a_{n}={tfrac {1}{n}}}, mit wachsendem n nähert sie sich der Zahl 0, dies ist also ihr Grenzwert. Eine solche Folge nennt man auch Nullfolge. Die konstante Folge an=c{displaystyle a_{n}=c} konvergiert ebenfalls, ihr Grenzwert ist gerade die Zahl c. Hingegen divergiert die Folge an=(−1)n{displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}, da sie sich keiner Zahl annähert, sondern nur zwischen den Werten −1 und 1 alterniert („hin und her springt“).

Die Konvergenz ist ein grundlegendes Konzept der modernen Analysis. In einem allgemeineren Sinne wird es in der Topologie behandelt.

In der altgriechischen Philosophie und Mathematik stand der Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung, siehe beispielsweise Achilles und die Schildkröte. In seiner modernen Form wurde er erstmals von Augustin-Louis Cauchy definiert.

Grenzwert einer reellen Zahlenfolge |

Erläuterung und Definition |

Illustration des Grenzwertes einer Folge

Jedes Glied an{displaystyle a_{n}} einer Folge (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} reeller Zahlen hat einen Index n{displaystyle n}. Die Zahl a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } ist der Grenzwert dieser Folge, falls für jedes ε>0{displaystyle varepsilon >0} alle Glieder mit hinreichend großem Index "um a{displaystyle a} herum" in dem offenen Intervall (a−ε,a+ε){displaystyle (a-varepsilon ,a+varepsilon )} liegen. Also liegen dann auch nur endlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls, und diese haben alle einen kleineren Index. Das Intervall (a−ε,a+ε){displaystyle (a-varepsilon ,a+varepsilon )} ist dabei die im Einleitungstext erwähnte Umgebung des Grenzwerts; genauer wird diese als ε{displaystyle varepsilon }-Umgebung von a bezeichnet und dann Uε(a){displaystyle U_{varepsilon }(a)} geschrieben.^[1] Die Sprechenweisen "(an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} hat den Grenzwert a" und "(an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} konvergiert gegen a" sind genau gleichbedeutend.

Diese Konkretisierung lässt sich gut mit der anschaulichen Interpretation der Konvergenz als „Annäherung an den Grenzwert“ in Einklang bringen: Egal, wie man das ε{displaystyle varepsilon } wählt, liegen ab einem gewissen Index alle Glieder stets in (a−ε,a+ε){displaystyle (a-varepsilon ,a+varepsilon )}, wobei ihr Abstand zu a{displaystyle a} kleiner als ε{displaystyle varepsilon } ist. So ergibt sich die exakte Definition:

Die Zahl a∈R{displaystyle ain mathbb {R} } heißt Grenzwert der Folge (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}, falls es zu jedem ε>0{displaystyle varepsilon >0} eine natürliche Zahl N{displaystyle N} so gibt, dass |an−a|<ε{displaystyle left|a_{n}-aright|<varepsilon }, falls n≥N.{displaystyle ngeq N.}

Diese Definition fordert also: Zu jedem ε>0{displaystyle varepsilon >0} gibt es einen Index N{displaystyle N} mit der Eigenschaft, dass alle Folgenglieder mit dem Index oder einem größeren weniger als ε{displaystyle varepsilon } von a{displaystyle a} entfernt sind.

Dies ist so zu verstehen, dass als ε{displaystyle varepsilon } eine beliebig kleine positive Zahl vorgegeben werden darf, und dass es dann stets möglich ist, ein genügend großes N{displaystyle N} so anzugeben, dass aN{displaystyle a_{N}} und alle darauf folgenden Glieder die Bedingung erfüllen. Man sagt dann, dass fast alle Folgenglieder, also alle bis auf endlich viele Folgenglieder, die Bedingung erfüllen.

Hinweis 1: Wenn die Konvergenz einer Folge mit dieser Definition nachgewiesen werden soll, muss der Grenzwert im Vorhinein bekannt sein. Es gibt allerdings auch Kriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist: siehe Konvergenzkriterien.

Hinweis 2: Die (durch die Häufigkeit ihrer Benutzung) auffällige Bezeichnung "kleiner" Zahlen durch den Buchstaben ε{displaystyle varepsilon } hat sich allgemein eingebürgert und wird karikierend auch als Epsilontik bezeichnet.

Illustration |

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  Beispiel einer Folge, die gegen den Grenzwert a{displaystyle a} konvergiert.
  

  
  

  
  


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  Wenn wir ein ε>0{displaystyle varepsilon >0} vorgeben, gibt es einen Mindestindex N0{displaystyle N_{0}}, so dass sich ab diesem Index die Folge im Epsilon-Schlauch (a−ε,a+ε){displaystyle (a-varepsilon ,a+varepsilon )} befindet.
  

  
  

  
  


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  Auch bei einem kleineren ε1>0{displaystyle varepsilon _{1}>0} gibt es einen Mindestindex N1{displaystyle N_{1}}, nach dem die Folge vollständig im Epsilon-Schlauch verläuft.
  

  
  

  
  


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  Egal welches ε>0{displaystyle varepsilon >0} wir vorgeben, nur endlich viele Folgenglieder liegen außerhalb des Epsilon-Schlauchs (a−ε,a+ε){displaystyle (a-varepsilon ,a+varepsilon )}.
  

  
  

  
  

Eindeutigkeit des Grenzwertes |

(a−ϵ,a+ϵ)∩(b−ϵ,b+ϵ)=∅{displaystyle (a-epsilon ,a+epsilon )cap (b-epsilon ,b+epsilon )=emptyset }

Der Grenzwert einer Folge (an){displaystyle (a_{n})} ist, sofern er existiert, eindeutig bestimmt.

Diese Aussage ergibt sich direkt aus der Definition anhand eines Widerspruchsbeweises. Hätte eine Folge (an){displaystyle (a_{n})} nämlich zwei verschiedene Grenzwerte a≠b{displaystyle aneq b}, so besäßen diese einen Abstand d=|a−b|>0{displaystyle d=|a-b|>0}. Betrachtet man nun ϵ{displaystyle epsilon }-Umgebungen mit ϵ<d2{displaystyle epsilon <{tfrac {d}{2}}} zu den beiden Grenzwerten, also im reellen Fall die Intervalle (a−ϵ,a+ϵ){displaystyle (a-epsilon ,a+epsilon )} und (b−ϵ,b+ϵ){displaystyle (b-epsilon ,b+epsilon )}, so besitzen diese keinen gemeinsamen Punkt. Nach der Definition des Grenzwerts müssen jedoch ab einem bestimmten Index alle Folgenglieder in der ϵ{displaystyle epsilon }-Umgebung des Grenzwertes liegen und somit müssten die ϵ{displaystyle epsilon }-Umgebungen von a{displaystyle a} und b{displaystyle b} unendlich viele gemeinsame Punkte haben. Dieser Widerspruch lässt sich nur beheben, wenn a{displaystyle a} und b{displaystyle b} keinen positiven Abstand besitzen, also a=b{displaystyle a=b} gilt.^[2]

Notation |

Für den Grenzwert a{displaystyle a} einer Folge (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt:
limn→∞an=a{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=a}.

Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise an→a{displaystyle a_{n}to a} für n→∞{displaystyle nto infty }, gelesen als an{displaystyle a_{n};} konvergiert gegen a{displaystyle a;} für n{displaystyle n} gegen unendlich, oder kurz an→a{displaystyle a_{n}to a} üblich.

Mit dieser Schreibweise lässt sich die Definition des Grenzwertes einer Folge verkürzen:
limn→∞an=a⟺∀ε>0∃N∈N∀n≥N:|an−a|<ε{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=aquad Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;exists Nin mathbb {N} ;forall ngeq N:;left|a_{n}-aright|<varepsilon }.

Unter Verwendung der Umgebungs-Schreibweise lautet die Definition:
limn→∞an=a⟺∀ε>0∃N∈N∀n≥N:an∈Uε(a){displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=aquad Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;exists Nin mathbb {N} ;forall ngeq N:;a_{n}in U_{varepsilon }(a)}.

Beispiele |

Die Definition des Grenzwertes soll an einem Beispiel deutlich gemacht werden, anschließend sind weitere Grenzwerte aufgeführt.

• Um zu beweisen, dass die Folge 1n{displaystyle {tfrac {1}{n}}} gegen 0{displaystyle 0} konvergiert, wählt man zu vorgegebenem ε{displaystyle varepsilon } als N{displaystyle N} irgendeine natürliche Zahl, die größer als 1ε{displaystyle {tfrac {1}{varepsilon }}} ist (die Existenz eines solchen N{displaystyle N} ist durch das archimedische Axiom gesichert). Dann gilt für alle n>N{displaystyle n>N}:

|an−0|=1n<1N<ε{displaystyle |a_{n}-0|={frac {1}{n}}<{frac {1}{N}}<varepsilon }

Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N{displaystyle n>N}, die zweite aus N>1ε{displaystyle N>{tfrac {1}{varepsilon }}}.
Hiermit ist die geforderte Existenz des Index N{displaystyle N} gezeigt, die Zahl 0{displaystyle 0} ist Grenzwert der Folge an=1n{displaystyle a_{n}={tfrac {1}{n}}}.

Folgen, die gegen null konvergieren, wie ebendieses Beispiel 1n{displaystyle {tfrac {1}{n}}}, werden Nullfolgen genannt.

• Die konstante Folge (c){displaystyle (c)} mit einer festen reellen Zahl c{displaystyle c} konvergiert gegen c{displaystyle c}.


• Die Folge (1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;…){displaystyle (1;1{,}4;1{,}41;1{,}414;1{,}4142;1{,}41421;dotsc )} der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von 2{displaystyle {sqrt {2}}} konvergiert gegen 2{displaystyle {sqrt {2}}}.


• Die Folge (en){displaystyle (e_{n})} mit en=(1+1n)n{displaystyle e_{n}=left(1+{tfrac {1}{n}}right)^{n}} ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e{displaystyle e}. Die Folge (1+rn)n{displaystyle left(1+{tfrac {r}{n}}right)^{n}} konvergiert gegen er{displaystyle e^{r}}. Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.


• Die Folge (cn){displaystyle (c_{n})} mit cn=(−1)n+1n{displaystyle c_{n}=(-1)^{n}+{tfrac {1}{n}}} ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade n{displaystyle n}.

Rechenregeln |

Für Grenzwerte gelten folgende Rechenregeln:

Existiert der Grenzwert limn→∞an=a{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=a}, so existieren für jedes c∈R{displaystyle cin mathbb {R} ;} auch die folgenden Grenzwerte und können wie angegeben berechnet werden:

• limn→∞can=ca,{displaystyle lim _{nto infty }ca_{n}=ca,}


• limn→∞(c+an)=c+a,{displaystyle lim _{nto infty }left(c+a_{n}right)=c+a,}


• limn→∞(c−an)=c−a.{displaystyle lim _{nto infty }left(c-a_{n}right)=c-a.}

Ist zusätzlich a≠0{displaystyle aneq 0}, so ist auch an≠0{displaystyle a_{n}neq 0} ab einem gewissen Index N0{displaystyle N_{0};} und für die Teilfolge der n>N0{displaystyle n>N_{0};} gilt

• limn→∞can=ca.{displaystyle lim _{nto infty }{frac {c}{a_{n}}}={frac {c}{a}}.}

Existieren die Grenzwerte limn→∞an=a{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=a} und limn→∞bn=b{displaystyle lim _{nto infty }b_{n}=b}, so existieren auch die folgenden Grenzwerte und können wie angegeben berechnet werden:

• limn→∞(an+bn)=a+b,{displaystyle lim _{nto infty }left(a_{n}+b_{n}right)=a+b,}


• limn→∞(an−bn)=a−b,{displaystyle lim _{nto infty }left(a_{n}-b_{n}right)=a-b,}


• limn→∞(an⋅bn)=a⋅b.{displaystyle lim _{nto infty }left(a_{n}cdot b_{n}right)=acdot b.}

Ist zusätzlich b≠0{displaystyle bneq 0}, so ist auch bn≠0{displaystyle b_{n}neq 0} ab einem gewissen Index N0{displaystyle N_{0};} und für die Teilfolge der n>N0{displaystyle n>N_{0};}, dann gilt

• 
  limn→∞anbn=ab{displaystyle lim _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}={frac {a}{b}}}.

Mit Hilfe dieser Rechenregeln lassen sich in vielen Fällen aus bekannten Grenzwerten einfach weitere Grenzwerte berechnen. So erhält man beispielsweise für den Grenzwert der Folge 2n2−1n2+1{displaystyle {tfrac {2n^{2}-1}{n^{2}+1}}}

limn→∞2n2−1n2+1=limn→∞2−1n21+1n2=limn→∞(2−1n2)limn→∞(1+1n2)=2−limn→∞1n21+limn→∞1n2=2−01+0=2.{displaystyle lim _{nto infty }{frac {2n^{2}-1}{n^{2}+1}}=lim _{nto infty }{frac {2-{frac {1}{n^{2}}}}{1+{frac {1}{n^{2}}}}}={frac {lim _{nto infty }left(2-{frac {1}{n^{2}}}right)}{lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n^{2}}}right)}}={frac {2-lim _{nto infty }{frac {1}{n^{2}}}}{1+lim _{nto infty }{frac {1}{n^{2}}}}}={frac {2-0}{1+0}}=2.}

Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge |

Für die hier betrachteten Folgen ist Monotonie nicht vorausgesetzt.

• Hat eine konvergente Folge (an){displaystyle (a_{n})} reeller Zahlen eine obere Schranke σ{displaystyle sigma } (d. h. für alle an{displaystyle a_{n}} gilt: an≤σ{displaystyle a_{n}leq sigma }), so ist limn→∞an=a≤σ{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=aleq sigma }.

(Indirekter) Beweis: Annahme: a>σ{displaystyle a>sigma }. Dann lässt sich ein 0<ϵ=a−σ{displaystyle 0<epsilon =a-sigma } vorgeben, und für fast alle an{displaystyle a_{n}} gilt (siehe oben Abschnitt "Erläuterung und Definition"):

an>a−ϵ=a−(a−σ)=σ{displaystyle a_{n}>a-epsilon =a-(a-sigma )=sigma } (Widerspruch).

• Hat eine konvergente Folge (an){displaystyle (a_{n})} reeller Zahlen eine untere Schranke σ{displaystyle sigma } (d. h. für alle an{displaystyle a_{n}} gilt: an≥σ{displaystyle a_{n}geq sigma }), so ist limn→∞an=a≥σ{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=ageq sigma }.

(Indirekter) Beweis: Annahme: a<σ{displaystyle a<sigma }. Dann lässt sich ein 0<ϵ=σ−a{displaystyle 0<epsilon =sigma -a} vorgeben, und für fast alle an{displaystyle a_{n}} gilt (siehe oben Abschnitt "Erläuterung und Definition"):

an<a+ϵ=a+(σ−a)=σ{displaystyle a_{n}<a+epsilon =a+(sigma -a)=sigma } (Widerspruch).

Wichtige Grenzwerte |

• limn→∞1n=0{displaystyle lim _{nto infty }{frac {1}{n}}=0}


• limn→∞nn=1{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{n}}=1}


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  limn→∞(1+zn)n=ez{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {z}{n}}right)^{n}=e^{z}} für komplexe (und damit insbesondere für reelle) Zahlen z{displaystyle z}.


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  limn→∞n(a1n−1)=ln⁡a{displaystyle lim _{nto infty }n(a^{frac {1}{n}}-1)=ln a} für reelle a>0{displaystyle a>0}
  


• 
  limn→∞(1+12+13+⋯+1n−ln⁡n)=γ{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+dotsb +{frac {1}{n}}-ln nright)=gamma } (Euler-Mascheroni-Konstante)

Grenzwertbildung und Funktionsauswertung |

Die Rechenregeln lassen sich als Spezialfall folgender Gesetzmäßigkeiten auffassen:

• Ist f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} ;} stetig im Punkt a{displaystyle a;} und konvergiert an{displaystyle a_{n};} gegen a{displaystyle a;}, so gilt

limn→∞f(an)=f(limn→∞an)=f(a){displaystyle lim _{nto infty }f(a_{n})=fleft(lim _{nto infty }a_{n}right)=f(a)};

• Ist g:R2→R{displaystyle gcolon mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ;} stetig im Punkt (a,b){displaystyle (a,b);} und konvergieren an{displaystyle a_{n};} gegen a{displaystyle a;} und bn{displaystyle b_{n};} gegen b{displaystyle b;}, so gilt

limn→∞g(an,bn)=g(limn→∞an,limn→∞bn)=g(a,b){displaystyle lim _{nto infty }g(a_{n},b_{n})=gleft(lim _{nto infty }a_{n},lim _{nto infty }b_{n}right)=g(a,b)}.

Für stetige Funktionen sind also Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division.

In den reellen Zahlen gilt auch die Umkehrung: Ist die Funktion f:R→R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} ;} gegeben und gilt für alle Folgen (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} mit an→a{displaystyle a_{n}to a} auch limn→∞f(an)=f(a){displaystyle lim _{nto infty }f(a_{n})=f(a)}, so ist f{displaystyle f;} stetig im Punkt a{displaystyle a;}.

Das Entsprechende gilt für jede Funktion g:R2→R{displaystyle gcolon mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ;}:
Gilt für alle Folgen (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}, (bn)n∈N{displaystyle (b_{n})_{nin mathbb {N} }} mit an→a{displaystyle a_{n}to a} und bn→b{displaystyle b_{n}to b} auch limn→∞g(an,bn)=g(a,b){displaystyle lim _{nto infty }gleft(a_{n},b_{n}right)=g(a,b)}, so ist g{displaystyle g;} stetig im Punkt (a,b){displaystyle (a,b);}.

Konvergenzkriterien |

Bei der oben angegebenen Definition der Konvergenz wird der Grenzwert a{displaystyle a;} in der Definition verwendet. Der Grenzwert muss also bekannt sein oder zumindest vermutet werden, damit mit dieser Definition die Konvergenz der Folge nachgewiesen werden kann. Es gibt allerdings auch Konvergenzkriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist.

Das Monotoniekriterium besagt, dass eine monoton wachsende Folge genau dann konvergiert, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert der Folge ist dann kleiner gleich der oberen Schranke. Formal gilt also:

an≤an+1 und an≤A für alle n⇒an konvergiert und limn→∞an≤A{displaystyle a_{n}leq a_{n+1}{text{ und }}a_{n}leq A{text{ für alle }}nquad Rightarrow quad a_{n}{text{ konvergiert und }}lim _{nto infty }a_{n}leq A}.

Ebenso konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge.

Das Cauchy-Kriterium beruht auf dem Begriff der Cauchy-Folge: Eine Folge (an)n∈N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }} heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

∀ε>0 ∃N∈N: ∀n,m∈N,n>N,m>N:|am−an|<ε{displaystyle forall varepsilon >0 exists Nin mathbb {N} : forall n,min mathbb {N} ,n>N,m>N:|a_{m}-a_{n}|<varepsilon }.

Das Cauchy-Kriterium besagt nun, dass eine Folge in den reellen Zahlen genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dieses Kriterium spielt insbesondere bei der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen und bei der Erweiterung des Grenzwertbegriffs auf metrische Räume eine wichtige Rolle.

Bestimmung von Grenzwerten |

Ist die Konvergenz einer Folge nachgewiesen lässt sich der Grenzwert in vielen Fällen näherungsweise bestimmen, indem in die Folge ein großes n eingesetzt wird und der Rest abgeschätzt wird. Beispielsweise ergibt sich für den Grenzwert
limn→∞(1+1n)n=e{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}=e} wegen der Abschätzung
(1+1n)n<e<(1+1n)n+1{displaystyle left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}<e<left(1+{frac {1}{n}}right)^{n+1}}
für n=1000{displaystyle n=1000} die Abschätzung 2,7169…<e<2,7196…{displaystyle 2{,}7169dotso <e<2{,}7196dotso }

Es gibt jedoch kein allgemeines Verfahren zur exakten Bestimmung von Grenzwerten. In vielen Fällen lässt sich die
Regel von de l’Hospital anwenden. Manchmal ist es nützlich den Grenzwert in ein bestimmtes Integral umzuwandeln. Oft führen jedoch nur raffinierte Zerlegungen und Umformungen weiter.

Bestimmte Divergenz |

In den reellen Zahlen unterscheidet man zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz:

Bestimmte Divergenz gegen +∞{displaystyle +infty } (bzw. −∞{displaystyle -infty }) liegt vor, wenn eine Folge x_n jede reelle Zahl irgendwann überschreitet und dann darüber bleibt (bzw. jede reelle Zahl unterschreitet und dann darunter bleibt). Das heißt,

∀M∈R ∃N∈N∀n>N:xn>M{displaystyle forall Min mathbb {R} exists Nin mathbb {N} quad forall n>N:x_{n}>M}

bzw.

∀M∈R ∃N∈N∀n>N:xn<M{displaystyle forall Min mathbb {R} exists Nin mathbb {N} quad forall n>N:x_{n}<M}.

Man schreibt dann

limn→∞xn=∞{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=infty }

bzw.

limn→∞xn=−∞{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=-infty }

und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen ∞{displaystyle infty } bzw. gegen −∞{displaystyle -infty }. Die Werte ∞{displaystyle infty } und −∞{displaystyle -infty } werden in diesem Zusammenhang oft auch uneigentliche Grenzwerte genannt beziehungsweise die bestimmte Divergenz als uneigentliche Konvergenz bezeichnet. Dass diese Werte ebenfalls als Grenzwert in einem etwas weiteren Sinne angesehen werden, ist insofern gerechtfertigt, als die uneigentlichen Grenzwerte in den erweiterten reellen Zahlen R¯:=R∪{−∞,+∞}{displaystyle {bar {mathbb {R} }}:=mathbb {R} cup {-infty ,+infty }}, versehen mit einer passenden Topologie, echte Grenzwerte im Sinne des weiter unten beschriebenen allgemeinen topologischen Grenzwertbegriffs sind.

Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge weder konvergiert noch bestimmt divergiert.

Beispiele

• Die Folge (n) der natürlichen Zahlen divergiert bestimmt gegen ∞{displaystyle infty }.


• Die Folge (+1, −1, +1, −1, …) divergiert unbestimmt.


• Die Folge (1, −2, 3, −4, 5, −6, …) divergiert unbestimmt.

Grenzwert und Häufungspunkt |

Ein mit dem Grenzwert einer Folge eng verwandter Begriff ist der Häufungspunkt oder auch Häufungswert einer Folge. Die formalen Definitionen unterscheiden sich lediglich in der Position der Existenz- bzw. Allquantoren:

Während der Grenzwert als

(limn→∞an=a):⟺∀ε>0∃N∈N∀n>N:|an−a|<ε{displaystyle left(lim _{nto infty }a_{n}=aright)quad :Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;exists Nin mathbb {N} ;forall n>N:;left|a_{n}-aright|<varepsilon }

definiert ist, gilt für den Häufungspunkt „nur“

a{displaystyle a;} ist Häufungspunkt von an:⟺∀ε>0∀N∈N∃n>N:|an−a|<ε{displaystyle a_{n}:Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;forall Nin mathbb {N} ;exists n>N:;left|a_{n}-aright|<varepsilon }.

Die Definition des Grenzwertes verlangt also, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes ab einem gewissen Index alle Folgenglieder liegen; die Definition des Häufungspunktes verlangt lediglich, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen.

Analog zu den uneigentlichen Grenzwerten werden gelegentlich die uneigentlichen Häufungspunkte definiert:

+∞{displaystyle +infty ;} ist uneigentlicher Häufungspunkt von an⟺∀M∈R ∀N∈N∃n>N:xn>M{displaystyle a_{n}Longleftrightarrow forall Min mathbb {R} forall Nin mathbb {N} quad exists n>N:quad x_{n}>M},

−∞{displaystyle -infty ;} ist uneigentlicher Häufungspunkt von an⟺∀M∈R ∀N∈N∃n>N:xn<M{displaystyle a_{n}Longleftrightarrow forall Min mathbb {R} forall Nin mathbb {N} quad exists n>N:quad x_{n}<M}.

Auch die Definition des uneigentlichen Häufungspunktes unterscheidet sich von der Definition des uneigentlichen Grenzwertes nur durch die Position der Existenz- bzw. Allquantoren.

Wenn eine Folge einen eigentlichen (bzw. uneigentlichen) Grenzwert hat, so ist dieser Grenzwert auch eigentlicher (bzw. uneigentlicher) Häufungspunkt. Während eine Folge aber höchstens einen Grenzwert hat, kann sie mehrere Häufungspunkte haben. Für jeden eigentlichen (bzw. uneigentlichen) Häufungspunkt gibt es eine Teilfolge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert (bzw. bestimmt divergiert). Enthält umgekehrt eine Folge eine konvergente (bzw. bestimmt divergente) Teilfolge, so ist der (eigentliche bzw. uneigentliche) Grenzwert dieser Folge ein (eigentlicher bzw. uneigentlicher) Häufungspunkt der Folge.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält jede beschränkte reelle Folge eine konvergente Teilfolge. Ist die Folge nach oben unbeschränkt, enthält sie eine gegen +∞{displaystyle +infty } bestimmt divergente Teilfolge, ist sie nach unten unbeschränkt, so enthält sie eine gegen −∞{displaystyle -infty } bestimmt divergente Teilfolge. Jede reelle Folge hat somit mindestens einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungspunkt. Der größte dieser Häufungspunkte wird als Limes superior bezeichnet, der kleinste als Limes inferior. Eine formale Definition dazu findet sich im Artikel Limes superior und Limes inferior. Stimmen der Limes superior und der Limes inferior überein, so ist dieser Wert auch eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert und die Folge ist konvergent bzw. bestimmt divergent. Sind Limes superior und der Limes inferior unterschiedlich, so ist die Folge unbestimmt divergent.

Grenzwert einer rationalen Zahlenfolge |

Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen wird formal wie der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert:

(limn→∞an=a)⟺∀ε>0∃N∈N∀n>N:|an−a|<ε{displaystyle left(lim _{nto infty }a_{n}=aright)quad Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;exists Nin mathbb {N} ;forall n>N:;left|a_{n}-aright|<varepsilon }

Während das bei an{displaystyle a_{n};} und ε{displaystyle varepsilon ;} keine besondere Einschränkung ist, wirkt sich das beim Grenzwert a{displaystyle a;} wesentlich aus. So gibt es keine rationale Zahl, gegen welche die oben angegebene Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von √2 konvergiert. Die Folge ist also in den rationalen Zahlen divergent, obwohl sie sowohl monoton wachsend und beschränkt ist, also das Monotoniekriterium erfüllt, als auch eine Cauchy-Folge ist, also auch das Cauchy-Kriterium erfüllt. Die rationalen Zahlen weisen somit „Lücken“ auf.

Diese „Lücken“ waren bereits Euklid in der Antike bekannt; es gelang aber erst im 19. Jahrhundert diese „Lücken“ durch die systematische Einführung der reellen Zahlen zu schließen. Ein häufig verwendeter Weg der systematischen Einführung der reellen Zahlen besteht darin, zuerst Cauchy-Folgen rationaler Zahlen zu betrachten, jene Cauchy-Folgen als äquivalent zu betrachten, deren Differenzen eine Nullfolge bilden, und darauf aufbauend die reellen Zahlen als Klassen äquivalenter Folgen zu definieren. In dieser Zahlbereichserweiterung gelten dann das oben angegebene Monotonie- und Cauchy-Kriterium; insbesondere dass nun jede Cauchy-Folge konvergent ist.

Für die Aussage, ob eine Folge konvergiert, ist es also wichtig zu wissen, welcher Zahlenbereich betrachtet wird; eine Folge, die in den reellen Zahlen konvergent ist, kann in den rationalen Zahlen divergent sein. Wenn nichts anderes dazugesagt wird, werden aber üblicherweise Grenzwerte über den reellen Zahlen betrachtet, da diese für die meisten Anwendungen das geeignetere Modell sind.

Grenzwert einer komplexen Zahlenfolge |

Der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen wird formal ebenfalls wie der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert:

(limn→∞an=a)⟺∀ε>0∃N∈N∀n>N:|an−a|<ε{displaystyle left(lim _{nto infty }a_{n}=aright)quad Longleftrightarrow quad forall varepsilon >0;exists Nin mathbb {N} ;forall n>N:;left|a_{n}-aright|<varepsilon }

an{displaystyle a_{n};} und a{displaystyle a;} bezeichnen dabei komplexe Zahlen, ε{displaystyle varepsilon ;} ist weiterhin eine reelle Zahl.
Eine Schreibweise der Art a−ε<an<a+ε{displaystyle a-varepsilon <a_{n}<a+varepsilon ;} ist hier nicht mehr möglich, da sich auf den komplexen Zahlen keine geeignete Ordnungsrelation definieren lässt. Aus dem gleichen Grund lassen sich die Begriffe monoton steigend und fallend auf den komplexen Zahlen nicht geeignet definieren, daher ist auch das Monotoniekriterium nicht mehr anwendbar. Sehr wohl gilt aber weiterhin das zweite Hauptkriterium: eine Folge komplexer Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Ein weiteres Konvergenzkriterium für komplexe Zahlen ist, dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann konvergent ist, wenn sowohl die Folge der Realteile als auch die Folge der Imaginärteile konvergiert.

Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes |

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reellen Zahlen, sondern z. B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Eine Folge wird dann als konvergent gegen einen Grenzwert a definiert, wenn in jeder ε-Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.

Definition der Konvergenz |

Sei (X,d){displaystyle (X,d)} ein metrischer Raum. Eine Folge (an){displaystyle (a_{n})} in X{displaystyle X} heißt konvergent gegen den Grenzwert a∈X{displaystyle ain X}, wenn gilt:

∀ε>0 ∃ N∈N∀ n>N:d(a,an)<ε,{displaystyle forall {varepsilon >0} exists Nin mathbb {N} ;forall n>N:;d(a,a_{n})<varepsilon ,,}

in Worten: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε{displaystyle varepsilon } einen Index N{displaystyle N} (i. A. abhängig von ε{displaystyle varepsilon }), derart, dass für alle Indizes n>N{displaystyle n>N}, alle weiteren Folgenglieder, gilt: der Abstand d(a,an){displaystyle d(a,a_{n})} ist kleiner als ε{displaystyle varepsilon }.

Dies entspricht der oben angegebenen Definition der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen, es wird lediglich |an−a|<ε{displaystyle |a_{n}-a|<varepsilon } durch d(an,a)<ε{displaystyle d(a_{n},a)<varepsilon } ersetzt.

Auch hier ist neben der Schreibweise limn→∞an=a{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=a} die Schreibweise an→a{displaystyle a_{n}to a}, ebenfalls gelesen als an{displaystyle a_{n}} konvergiert gegen a{displaystyle a;}, üblich.

Cauchy-Folgen und Vollständigkeit |

Analog zu den reellen Zahlen spielt der Begriff der Cauchy-Folge in metrischen Räumen eine wichtige Rolle. Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn

∀ε>0 ∃N∈N ∀n,m∈N,n>N,m>N:d(am,an)<ε{displaystyle forall varepsilon >0 exists Nin mathbb {N} forall n,min mathbb {N} ,n>N,m>N:quad d(a_{m},a_{n})<varepsilon }.

Hat jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, so wird der metrische Raum als vollständig bezeichnet. Insbesondere sind die reellen und die komplexen Zahlen vollständig, die rationalen Zahlen aber nicht. Ist der metrische Raum nicht vollständig, dann lässt er sich analog zur Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen in den vollständigen metrischen Raum einbetten, der durch die Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen bezüglich der Äquivalenzrelation

(an)∼(bn):⇔d(an,bn)→0{displaystyle (a_{n})sim (b_{n}):quad Leftrightarrow quad d(a_{n},b_{n})to 0}

gebildet wird.

Absolute Konvergenz |

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich zwar nicht unmittelbar auf metrische Räume übertragen, für vollständige metrische Räume gibt es aber ein eng verwandtes Resultat: Eine Folge (an)n∈N{displaystyle left(a_{n}right)_{nin mathbb {N} }} ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

∑n∈Nd(an,an+1){displaystyle sum _{nin mathbb {N} }dleft(a_{n},a_{n+1}right)}

konvergiert. Aus der Konvergenz dieser Summe folgt nämlich, dass für jedes ε>0{displaystyle varepsilon >0;} ein N{displaystyle N;} existiert, sodass für m>n>N{displaystyle m>n>N;} die Beziehung

∑ν=nm−1d(av,av+1)<ε{displaystyle sum _{nu =n}^{m-1}dleft(a_{v},a_{v+1}right)<varepsilon }

gilt. Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung folgt

d(an,am)≤∑ν=nm−1d(av,av+1)<ε{displaystyle dleft(a_{n},a_{m}right)leq sum _{nu =n}^{m-1}dleft(a_{v},a_{v+1}right)<varepsilon },

(an)n∈N{displaystyle left(a_{n}right)_{nin mathbb {N} }} ist somit eine Cauchyfolge und damit in einem vollständigen Raum konvergent.

Grenzwert einer Folge von Elementen eines topologischen Raumes |

Definition |

Der Grenzwertbegriff wird in der Topologie verallgemeinert. Ist ein topologischer Raum (X,T){displaystyle (X,{mathfrak {T}})}, also eine Menge X{displaystyle X} mit der Menge der in diesem topologischen Raum offenen Teilmengen T{displaystyle {mathfrak {T}}} gegeben, so wird der Grenzwert einer Folge von Elementen an∈X{displaystyle a_{n}in X} gegen einen Grenzwert a∈X{displaystyle ain X} folgendermaßen definiert:

limn→∞an=a⟺∀U∈U(a)∃N∈N∀n>N:an∈U.{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=aquad Longleftrightarrow quad forall Uin {mathfrak {U}}(a);exists Nin mathbb {N} ;forall n>Ncolon ;a_{n}in U.}

U∈U(a){displaystyle Uin {mathfrak {U}}(a)} sind dabei die sogenannten Umgebungen von a{displaystyle a}, das sind die Mengen, für die eine Menge O∈T{displaystyle Oin {mathfrak {T}}} mit a∈O⊆U{displaystyle ain Osubseteq U} existiert.

Anstelle alle Umgebungen von a{displaystyle a} zu betrachten, ist es für den Nachweis der Konvergenz oft zweckmäßiger, sich auf eine Umgebungsbasis B(a){displaystyle {mathfrak {B}}(a)} zu beschränken, also auf eine Teilmenge B(a)⊆U(a){displaystyle {mathfrak {B}}(a)subseteq {mathfrak {U}}(a)} mit der Eigenschaft, dass für jede Umgebung U∈U(a){displaystyle Uin {mathfrak {U}}(a)} eine Menge B∈B(a){displaystyle Bin {mathfrak {B}}(a)} mit B⊆U{displaystyle Bsubseteq U} existiert. Es gilt dann die leichter nachweisbare äquivalente Formulierung

limn→∞an=a⟺∀B∈B(a)∃N∈N∀n>N:an∈B.{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=aquad Longleftrightarrow quad forall Bin {mathfrak {B}}(a);exists Nin mathbb {N} ;forall n>Ncolon ;a_{n}in B.}

Dieser Grenzwertbegriff beinhaltet den Grenzwert einer Zahlenfolge und den Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes als Spezialfälle. Insbesondere bildet in metrischen Räumen die Menge B(a)={Bε(a)∣ε>0}{displaystyle {mathfrak {B}}(a)={B_{varepsilon }(a)mid varepsilon >0}} aller offenen Kugeln Bε(a):={x∈X∣d(x,a)<ε}{displaystyle B_{varepsilon }(a):={xin Xmid d(x,a)<varepsilon }} eine Umgebungsbasis von a{displaystyle a}. Verwendet man diese Umgebungsbasis, erhält man genau die oben angegebene Definition des Grenzwerts in metrischen Räumen.

Erfüllt eine Topologie das erste Abzählbarkeitsaxiom, so reichen Grenzwerte von Folgen aus, um damit die Topologie zu beschreiben, insbesondere gilt, dass ein Punkt a{displaystyle a} genau dann in der abgeschlossenen Hülle A¯{displaystyle {bar {A}}} von A{displaystyle A} liegt, wenn es eine Folge von Elementen an∈A{displaystyle a_{n}in A} gibt, die gegen a{displaystyle a} konvergiert.^[3] Insbesondere erfüllen metrische Räume das erste Abzählbarkeitsaxiom, da beispielsweise B(a)={B1/k(a)∣k∈N}{displaystyle {mathfrak {B}}(a)={B_{1/k}(a)mid kin mathbb {N} }} eine Umgebungsbasis von a{displaystyle a} ist.

In allgemeinen topologischen Räumen gilt diese Charakterisierung abgeschlossener Mengen als Grenzwerte von Folgen nicht, dort müssen statt Grenzwerten von Folgen Grenzwerte verallgemeinerter Folgen, sogenannter Netze betrachtet werden.

In allgemeinen topologischen Räumen kann es auch sein, dass eine Folge mehrere Grenzwerte hat. So konvergiert beispielsweise in der trivialen Topologie von X{displaystyle X}, in der lediglich die leere Menge sowie X{displaystyle X} selbst offene Mengen sind, jede Folge gegen jedes a∈X{displaystyle ain X}. Verlangt man aber zusätzlich, dass der topologische Raum das hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt, so hat in einem solchen topologischen Raum jede Folge höchstens einen Grenzwert. Insbesondere ist in metrischen Räumen das hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt.

Beispiele |

Konvergenz von Funktionenfolgen |

Um das Verhalten von Funktionenfolgen zu beschreiben, gibt es mehrere Konvergenzbegriffe, da es zum einen mehrere Abstandsbegriffe in einem Funktionenraum gibt und ferner neben der Frage nach der Existenz des Grenzwerts auch Fragen nach den Eigenschaften der Grenzfunktion auftauchen. So ist die Grenzfunktion einer Folge von stetigen Funktionen nicht notwendigerweise stetig.

Konvergenz in der Stochastik |

Um speziell bei Anwendungen in der Statistik angemessen darüber entscheiden zu können, ob Schätz- oder Testverfahren asymptotisch die richtigen Resultate liefern, insbesondere für Aussagen wie die Gesetze der großen Zahlen und die Zentralen Grenzwertsätze, haben sich verschiedene Konvergenzbegriffe in der Stochastik herausgebildet. Im Prinzip handelt es sich dabei ebenfalls um Grenzwerte von Funktionenfolgen, da Zufallsvariablen in der Stochastik als Funktionen eines Wahrscheinlichkeitsraums modelliert werden. Für die Anwendungen der Stochastik hat es sich aber als zweckmäßig herausgestellt, eigene Bezeichnungen und auch eigene Konvergenzbegriffe einzuführen. Beispiele hiefür sind die Konvergenz im p-ten Mittel, die Konvergenz in Verteilung, die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und die fast sichere Konvergenz.

Fréchet-Axiome |

Ein sehr allgemeiner Grenzwertbegriff wird durch die Fréchet-Axiome definiert: Ein Raum X{displaystyle X} wird als Raum mit Konvergenz im Sinne von Fréchet bezeichnet, wenn

1. Jede Folge mit Elementen aus X{displaystyle X} höchstens einen Grenzwert hat,


2. Jede konstante Folge xn=x∈X{displaystyle x_{n}=xin X} gegen x{displaystyle x} konvergiert, und


3. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert und den gleichen Grenzwert wie die Ausgangsfolge hat.

Dieser Grenzwertbegriff stimmt jedoch nicht mit dem Grenzwertbegriff der Topologie überein. Erstens können Folgen in Topologien, die das Hausdorff-Axiom nicht erfüllen, mehrere Grenzwerte haben. Zweitens reichen in Topologien, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, Folgen alleine nicht aus, um die Topologie eindeutig zu beschreiben, sodass die Fréchet Axiome auf Netze erweitert werden müssen. Drittens gibt es Konvergenzbegriffe, die den Frechét-Axiomen genügen, aber nicht durch eine Topologie erzeugt werden können, beispielsweise die punktweise Konvergenz fast überall.^[4] In^[5] sind die Zusatzkriterien beschrieben, die ein Raum mit Konvergenz im Sinne von Fréchet erfüllen muss, damit diese Konvergenz eindeutig durch eine Topologie erzeugt werden kann.

Allgemeines für die Praxis (Iterationsverfahren) |

Oft weiß man nicht von vornherein, z. B. wenn bei einem Iterationsverfahren zu einem Eingangswert einer Größe I{displaystyle I} in bestimmter Weise eine Korrektur δI{displaystyle delta I} berechnet und der so gewonnene Wert als neuer Eingangswert genommen wird (also bei einer Folge In→In+δIn=:In+1→…,n=1,…{displaystyle I_{n},to ,I_{n},+,delta I_{n}=:I_{n+1}to dotsc ,,,,n=1,dotsc }), ob dieses Verfahren konvergiert. D. h. man betrachtet eine offene Situation, in der weder bekannt ist, dass ein notwendiges Kriterium verletzt ist (⇒{displaystyle Rightarrow } Nichtkonvergenz), noch, dass eines der hinreichenden Kriterien erfüllt ist (⇒{displaystyle Rightarrow } Konvergenz). In einem solchen Fall empfiehlt es sich, pragmatisch vorzugehen (d. h. zum Beispiel mit dem Cauchy-Kriterium) und das Verfahren einfach „hinreichend nahe“ an dem vermuteten Konvergenzpunkt durchzuführen, wobei in der Praxis nicht bekannt sein muss, was „hinreichend nahe“ quantitativ bedeutet.

Siehe auch |

• Grenzwert (Funktion)


• Konvergenzgeschwindigkeit


• Konvergenz von Mengenfolgen


• Fixpunktsätze

Quellen |

1. 
   ↑ Die ε{displaystyle varepsilon }-Umgebung einer reellen Zahl ist ein besonderer Fall eines allgemeineren mathematischen Begriffs der Umgebung.
   


2. 
   ↑ Gabriele Adams, Hermann-Josef Kruse, Diethelm Sippel, Udo Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40056-8, S. 79.
   


3. 
   ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 371f, Comments A.24.
   


4. 
   ↑ J. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 88, Aufgabe 6.
   


5. 
   ↑ John L. Kelley: General Topology. Springer Verlag, 1997, ISBN 0-387-90125-6.
   

Weblinks |

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Konvergenz und Divergenz – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz beweisen – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Bestimmte Divergenz, uneigentliche Konvergenz – Lern- und Lehrmaterialien

• Häufungspunkt und Grenzwert


• 
  Limit in der Encyclopaedia of Mathematics