Monotone reelle Funktion

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Eine monoton steigende reelle Funktion (rot) und eine monoton fallende reelle Funktion (blau)


Eine monotone reelle Funktion ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, bei der der Funktionswert f(x){displaystyle f(x)}f(x) entweder immer wächst oder immer fällt, wenn das Argument x{displaystyle x}x erhöht wird. Steigt der Funktionswert immer, wenn das Argument erhöht wird, so heißt die Funktion streng monoton steigend, steigt der Funktionswert immer oder bleibt er gleich, heißt sie monoton steigend. Analog heißt eine Funktion streng monoton fallend, wenn ihr Funktionswert immer fällt, wenn das Argument erhöht wird, und monoton fallend, wenn er immer fällt oder gleich bleibt. Reelle monotone Funktionen sind klassische Beispiele für monotone Abbildungen.




Inhaltsverzeichnis






  • 1 Definition


  • 2 Beispiele


  • 3 Eigenschaften


  • 4 Ableitungen als Monotoniekriterium


    • 4.1 Kriterien


    • 4.2 Beispiele




  • 5 Umkehrfunktion


  • 6 Verallgemeinerungen


    • 6.1 K-monotone Funktionen


    • 6.2 Monotone Funktionen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension


    • 6.3 Rechtecksmonotone Funktion




  • 7 Literatur


  • 8 Weblinks


  • 9 Einzelnachweise





Definition |


Eine Funktion f:D→R{displaystyle fcolon Dto mathbb {R} }fcolon Dto mathbb {R} , wobei D{displaystyle D}D eine Teilmenge von R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} ist, heißt




  • monoton steigend, wenn für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x≤y{displaystyle xleq y}xleq y gilt, dass f(x)≤f(y){displaystyle f(x)leq f(y)}f(x)leq f(y).


  • streng monoton steigend, wenn für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x<y{displaystyle x<y}x<y gilt, dass f(x)<f(y){displaystyle f(x)<f(y)}f(x)<f(y).


  • monoton fallend, wenn für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x≤y{displaystyle xleq y}xleq y gilt, dass f(x)≥f(y){displaystyle f(x)geq f(y)}f(x)geq f(y).


  • streng monoton fallend, wenn für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x<y{displaystyle x<y}x<y gilt, dass f(x)>f(y){displaystyle f(x)>f(y)}f(x)>f(y).


  • monoton, wenn sie entweder monoton steigt oder monoton fällt.


  • streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt.


Manchmal werden die nicht strengen Monotoniebegriffe auch für x<y{displaystyle x<y}x<y definiert. Die beiden Definitionen sind gleichwertig. Synonym für „streng“ findet man auch „strikt“, monoton fallend wird gelegentlich auch antiton genannt, genauso wie monoton wachsend auch isoton genannt wird. Es findet sich auch die Bezeichnung „wachsend“ anstelle von „steigend“.



Beispiele |




Graph der Funktion f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}}f(x)=x^{2}




Graph der Funktion f(x)=ln⁡(x){displaystyle f(x)=ln(x)}f(x)=ln(x)


  • Die Funktion f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}}f(x)=x^{2} ist auf (−,0]{displaystyle (-infty ,0]}(-infty ,0] streng monoton fallend. Ist nämlich x<y≤0{displaystyle x<yleq 0}x<yleq 0, so ist x−y<0{displaystyle x-y<0}x-y<0 und x+y<0{displaystyle x+y<0}x+y<0. Die Bedingung, dass f(x)=x2>f(y)=y2{displaystyle f(x)=x^{2}>f(y)=y^{2}}f(x)=x^{2}>f(y)=y^{2} sein soll, ist äquivalent zu x2−y2>0{displaystyle x^{2}-y^{2}>0}x^{2}-y^{2}>0. Es ist aber mit der dritten binomischen Formel


x2−y2=(x+y)⏟<0(x−y)⏟<0>0{displaystyle x^{2}-y^{2}=underbrace {(x+y)} _{<0}underbrace {(x-y)} _{<0}>0}x^{2}-y^{2}=underbrace {(x+y)} _{<0}underbrace {(x-y)} _{<0}>0,

also ist f{displaystyle f}f streng monoton fallend auf (−,0]{displaystyle (-infty ,0]}(-infty ,0]. Der Nachweis, dass f{displaystyle f}f streng monoton wachsend auf [0,∞){displaystyle [0,infty )}[0,infty ) ist, funktioniert analog, aber mit dem Argument, dass x+y>0{displaystyle x+y>0}x+y>0 wenn y>x≥0{displaystyle y>xgeq 0}y>xgeq 0 ist. Damit ist die Funktion aber nicht monoton auf [−1,1]{displaystyle [-1,1]}[-1,1], da sie auf diesem Intervall kein festes Monotonieverhalten besitzt.

  • Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf (0,∞){displaystyle (0,infty )}(0,infty ). ln⁡(x)<ln⁡(y){displaystyle ln(x)<ln(y)}ln(x)<ln(y) ist wieder äquivalent zu ln⁡(x)−ln⁡(y)<0{displaystyle ln(x)-ln(y)<0}ln(x)-ln(y)<0. Dann ist


ln⁡(x)−ln⁡(y)=ln⁡(x/y)<0{displaystyle ln(x)-ln(y)=ln(x/y)<0}ln(x)-ln(y)=ln(x/y)<0,

wenn x<y{displaystyle x<y}x<y, da dann 0<xy<1{displaystyle 0<{tfrac {x}{y}}<1}0<{tfrac {x}{y}}<1 ist und dementsprechend ln⁡(x/y)<0{displaystyle ln(x/y)<0}ln(x/y)<0. Also ist ln⁡(x)<ln⁡(y){displaystyle ln(x)<ln(y)}ln(x)<ln(y). Somit ist der Logarithmus streng monoton wachsend und demnach auch streng monoton.

  • Die Funktion

f(x)={x2 für x<00 für x≥0{displaystyle f(x)={begin{cases}x^{2}&{text{ für }}x<0\0&{text{ für }}xgeq 0end{cases}}}f(x)={begin{cases}x^{2}&{text{ für }}x<0\0&{text{ für }}xgeq 0end{cases}}

ist monoton fallend auf dem Intervall [−1,1]{displaystyle [-1,1]}[-1,1], aber nicht streng monoton fallend. Der Nachweis der Monotonie in der linken Hälfte des Intervalls folgt dem ersten Beispiel, auf dem Intervall [0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1] ist jedoch f(x)−f(y)=0{displaystyle f(x)-f(y)=0}f(x)-f(y)=0 und damit kann keine strikte Monotonie gelten. Somit ist die Funktion monoton fallend und damit auch monoton.


Eigenschaften |


Für eine reelle monotone Funktion f:D→R{displaystyle fcolon Dto mathbb {R} }fcolon Dto mathbb {R} mit D⊆R{displaystyle Dsubseteq mathbb {R} }Dsubseteq mathbb {R} gilt:



  • Streng monotone Funktionen sind stets injektiv, sie nehmen also jeden Wert nur höchstens einmal an. Ist f:I→R{displaystyle fcolon Ito mathbb {R} }fcolon Ito mathbb {R} streng monoton und I{displaystyle I}I ein Intervall und I′:=f(I){displaystyle I':=f(I)}I':=f(I) die Bildmenge, so ist f:I→I′{displaystyle fcolon Ito I'}fcolon Ito I' bijektiv. Daher existiert für streng monotone Funktionen auch immer die Umkehrfunktion. Beispielsweise ist die Sinusfunktion auf dem Intervall [−π2,π2]{displaystyle [-{tfrac {pi }{2}},{tfrac {pi }{2}}]}[-{tfrac {pi }{2}},{tfrac {pi }{2}}] streng monoton wachsend. Schränkt man die Bildmenge auf das Intervall [−1,1]{displaystyle [-1,1]}[-1,1] ein, so ist sie bijektiv und damit invertierbar. Die Umkehrfunktion ist dann der Arkussinus arcsin:[−1,1]→[−π2,π2]{displaystyle arcsin :[-1,1]to [-{tfrac {pi }{2}},{tfrac {pi }{2}}]}arcsin :[-1,1]to [-{tfrac {pi }{2}},{tfrac {pi }{2}}].

  • Sie hat in jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs D{displaystyle D}D einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

  • Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben.

  • Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar, muss aber nicht notwendigerweise endlich sein.

  • Sie ist fast überall differenzierbar, d. h. die Menge der Stellen, an denen f{displaystyle f}f nicht differenzierbar ist, bildet eine lebesguesche Nullmenge.

  • Eine im Intervall D=[a,b]{displaystyle D=[a,b]}D=[a,b] definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.

  • Für jede monoton wachsende Funktion gilt (x−y)(f(x)−f(y))≥0{displaystyle (x-y)(f(x)-f(y))geq 0}(x-y)(f(x)-f(y))geq 0 für beliebige x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D. Diese Eigenschaft nutzt man teilweise, um die Monotonie zu verallgemeinern, siehe letzter Abschnitt.

  • Die Monotonie reeller Funktionen ist ein Spezialfall einer monotonen Abbildung. Im Falle einer monoton fallenden Funktion sind die sind beiden geordneten Mengen dann (R,≤){displaystyle (mathbb {R} ,leq )}(mathbb {R} ,leq ) und (R,≥){displaystyle (mathbb {R} ,geq )}(mathbb {R} ,geq ), die Abbildung ist die Funktion f{displaystyle f}f.



Ableitungen als Monotoniekriterium |



Kriterien |


Ist die Funktion f:(a,b)→R{displaystyle fcolon (a,b)to mathbb {R} }fcolon (a,b)to mathbb {R} differenzierbar, so lässt sich die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden. Die Kriterien für strenge Monotonie lauten:



  • Ist f′(x)>0{displaystyle f'(x)>0}f'(x)>0 für alle x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}xin (a,b), so wächst f{displaystyle f}f in (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) streng monoton.

  • Ist f′(x)<0{displaystyle f'(x)<0}f'(x)<0 für alle x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}xin (a,b), so fällt f{displaystyle f}f in (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) streng monoton.


Zu beachten ist, dass dieses Kriterium nur hinreichend, aber nicht notwendig ist. Es gibt auch streng monotone Funktionen, deren Ableitung null wird, ein Beispiel ist weiter unten aufgeführt. Es lässt sich mit zusätzlichen Forderungen noch eine Verschärfung dieser Kriterien formulieren:


  • Es ist f′(x)≥0{displaystyle f'(x)geq 0}f'(x)geq 0 (f′(x)≤0{displaystyle f'(x)leq 0}f'(x)leq 0) für alle x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}xin (a,b) und die Ableitung ist auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist) genau dann, wenn f{displaystyle f}f streng monoton wachsend (streng monoton fallend) ist.

Die Kriterien für Monotonie lauten:




  • f′(x)≥0{displaystyle f'(x)geq 0}f'(x)geq 0 für alle x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}xin (a,b) genau dann, wenn f{displaystyle f}f in (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) monoton wächst.


  • f′(x)≤0{displaystyle f'(x)leq 0}f'(x)leq 0 für alle x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}xin (a,b) genau dann, wenn f{displaystyle f}f in (a,b){displaystyle (a,b)}(a,b) monoton fällt.


Bei diesen Kriterien handelt es sich um Äquivalenzen.


Alle genannten Kriterien lassen sich noch erweitern: Ist zusätzlich f{displaystyle f}f stetig auf [a,b){displaystyle [a,b)}[a,b) (bzw. (a,b]{displaystyle (a,b]}(a,b] oder [a,b]){displaystyle [a,b])}[a,b])), so gilt die Aussage über die Monotonie auch für das Intervall [a,b){displaystyle [a,b)}[a,b) (bzw. (a,b]{displaystyle (a,b]}(a,b] oder [a,b]){displaystyle [a,b])}[a,b])).



Beispiele |




Der Graph der Funktion f(x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}}f(x)=x^{3}. Die Funktion ist streng monoton wachsend.



  • Für die Exponentialfunktion f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}}f(x)=e^{x} ist f′(x)=ex>0{displaystyle f'(x)=e^{x}>0}f'(x)=e^{x}>0 für alle x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }xin mathbb {R} . Also ist sie streng monoton wachsend.

  • Die Funktion f(x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}}f(x)=x^{3} besitzt die Ableitung f′(x)=3x2{displaystyle f'(x)=3x^{2}}f'(x)=3x^{2}, diese wird bei x=0{displaystyle x=0}x=0 null. Aber die Funktion ist streng monoton wachsend. Ist nämlich x<y{displaystyle x<y}x<y und haben x,y{displaystyle x,y}x,y dasselbe Vorzeichen, so ist



x3−y3=(x−y)(x2+y2+xy)<0{displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)<0}x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy)<0.

Haben beide unterschiedliches Vorzeichen, so ist direkt x3−y3<0{displaystyle x^{3}-y^{3}<0}x^{3}-y^{3}<0. Somit ist dies ein Beispiel dafür, dass die ersten beiden Kriterien nur hinreichend, aber nicht notwendig sind. Das dritte Kriterium greift hier aber: Die Ableitung der Funktion verschwindet bloß im Punkt x0=0{displaystyle x_{0}=0}x_{0}=0 und ist sonst größergleich null. Dies ist äquivalent zum monotonen Wachstum von f{displaystyle f}f.


Umkehrfunktion |


Sei I⊂R{displaystyle Isubset mathbb {R} }Isubset mathbb {R} ein Intervall und f:I→R{displaystyle fcolon Ito mathbb {R} }fcolon Ito mathbb {R} sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist:



  • die Bildmenge I′:=f(I){displaystyle I':=fleft(Iright)}I':=fleft(Iright) ein Intervall,


  • f:I→I′{displaystyle fcolon Irightarrow I'}fcolon Irightarrow I' bijektiv,

  • die Umkehrfunktion f−1:I′→I{displaystyle f^{-1}colon I'rightarrow I}f^{{-1}}colon I'rightarrow I streng monoton wachsend/fallend und stetig,


  • f−1(a)<b⟺a<f(b){displaystyle f^{-1}left(aright)<biff a<fleft(bright)}f^{{-1}}left(aright)<biff a<fleft(bright), wenn wachsend und


  • f−1(a)<b⟺a>f(b){displaystyle f^{-1}left(aright)<biff a>fleft(bright)}f^{{-1}}left(aright)<biff a>fleft(bright), wenn fallend.



Verallgemeinerungen |



K-monotone Funktionen |



Verallgemeinert man den Monotoniebegriff für Funktionen h:Rn→R{displaystyle hcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }hcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} , so definiert man auf dem Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}mathbb {R} ^{n} einen echten Kegel K{displaystyle K}K und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung K{displaystyle preccurlyeq _{K}}preccurlyeq _{K} und die strikte verallgemeinerte Ungleichung x≺Ky{displaystyle xprec _{K}y}xprec _{K}y sowie eine konvexe Menge D{displaystyle D}D. Dann heißt eine Funktion h:Rn⊃D→R{displaystyle hcolon mathbb {R} ^{n}supset Dto mathbb {R} }hcolon mathbb {R} ^{n}supset Dto mathbb {R}




  • K-monoton wachsend (K-monoton fallend) wenn für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x≼Ky{displaystyle xpreccurlyeq _{K}y}xpreccurlyeq _{K}y gilt, dass f(x)≤f(y){displaystyle f(x)leq f(y)}f(x)leq f(y) (bzw. f(x)≥f(y){displaystyle f(x)geq f(y)}f(x)geq f(y))


  • strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton fallend) wenn für alle x≺Ky{displaystyle xprec _{K}y}xprec _{K}y gilt, dass f(x)<f(y){displaystyle f(x)<f(y)}f(x)<f(y) (bzw. f(x)>f(y){displaystyle f(x)>f(y)}f(x)>f(y)) ist.


Wählt man als Vektorraum den Sn{displaystyle S^{n}}S^{n} (den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen) und als Kegel den semidefiniten Kegel (bzw. als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung), so erhält man die Matrix-monotonen Funktionen.



Monotone Funktionen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension |


Eine Möglichkeit, Monotonie für Funktionen h:Rn→Rn{displaystyle hcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}hcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n} zu verallgemeinern ist, für x=(x1,…,xn)T,y=(y1,…,yn)T{displaystyle x=(x_{1},dots ,x_{n})^{T},,y=(y_{1},dots ,y_{n})^{T}}x=(x_{1},dots ,x_{n})^{T},,y=(y_{1},dots ,y_{n})^{T} zu fordern, dass wenn xi≤yi{displaystyle x_{i}leq y_{i}}x_{i}leq y_{i} für i=1,…,n{displaystyle i=1,dots ,n}i=1,dots ,n ist, dass dann für eine monoton wachsende Funktion gelten soll, dass hi(x)≤hi(y){displaystyle h_{i}(x)leq h_{i}(y)}h_{i}(x)leq h_{i}(y) ist. Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog. Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} auf die komponentenweise Halbordnung auf Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}mathbb {R} ^{n}.


Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen, dass für beliebige x,y{displaystyle x,y}x,y gilt, dass (x−y)(f(x)−f(y))≥0{displaystyle (x-y)(f(x)-f(y))geq 0}(x-y)(f(x)-f(y))geq 0 ist verallgemeinern. Dies führt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff: gegeben sei D⊂Rn{displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{n}}Dsubset mathbb {R} ^{n} und eine Funktion f:D→Rn{displaystyle fcolon Dto mathbb {R} ^{n}}fcolon Dto mathbb {R} ^{n}. Die Funktion heißt




  • Monoton auf D{displaystyle D}D, wenn (x−y)T(f(x)−f(y))≥0{displaystyle (x-y)^{T}(f(x)-f(y))geq 0}(x-y)^{T}(f(x)-f(y))geq 0 für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D gilt.


  • Strikt monoton auf D{displaystyle D}D, wenn (x−y)T(f(x)−f(y))>0{displaystyle (x-y)^{T}(f(x)-f(y))>0}(x-y)^{T}(f(x)-f(y))>0 für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D gilt.


  • Gleichmäßig monoton auf D{displaystyle D}D, wenn (x−y)T(f(x)−f(y))≥μx−y‖2{displaystyle (x-y)^{T}(f(x)-f(y))geq mu Vert x-yVert ^{2}}(x-y)^{T}(f(x)-f(y))geq mu Vert x-yVert ^{2} für alle x,y∈D{displaystyle x,yin D}x,yin D mit x≠y{displaystyle xneq y}xneq y gilt.


Verallgemeinert man dies weiter, so erhält man den Begriff eines monotonen Operators.



Rechtecksmonotone Funktion |


Die Monotonie für Funktionen F:Rn→R{displaystyle Fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }{displaystyle Fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } kann auch über den Differenz-Operator Δab{displaystyle Delta _{a}^{b}}{displaystyle Delta _{a}^{b}} definiert werden. Eine Funktion wird dann eine rechtecksmonotone Funktion genannt, wenn


a≤b⟹ΔabF≥0{displaystyle aleq bimplies Delta _{a}^{b}Fgeq 0}{displaystyle aleq bimplies Delta _{a}^{b}Fgeq 0}

gilt.[1]



Literatur |



  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3. 

  • Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X. 

  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online). 



Weblinks |



  • L.D. Kudryavtsev: Monotone function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online). 


  • Christian Franzki: Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion). In: Mathematik-Wissen.de. 6. März 2012, abgerufen am 16. Mai 2015. 



Einzelnachweise |




  1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 294, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 




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